Question

6．已知函数f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$），求得它的最小正周期．
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，求得-$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，
可得函数f（x）的单调增区间为$[{-\frac{2kπ}{3}-\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{12}}]$．
（Ⅲ）当$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\frac{π}{6}}]$时，$3x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}\;，\;\frac{3π}{4}}]$，
故当3x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，$f{（x）_{max}}=2sin\frac{π}{2}=2$；
当3x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$时，$f{（x）_{min}}=2sin（-\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的最小正周期，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．