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根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈；b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求数列 { a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）写出b₁，b₂，b₃，b₄，由此猜想{ b_n}的通项公式，并证明你的证明；
（Ⅲ）在 a_k与 a_k+1中插入b_k+1个3得到一个新数列 { c_n }，设数列 { c_n }的前n项和为S_n，问是否存在这样的正整数m，使数列{ c_n }的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
．

分析：（I）根据框图可知a_n+1=a_n+1整理得a_n+1-a_n=1，根据等差数列的定义判断出{a_n}为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得a_n，
（II）根据b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，猜想b_n=3^n-1-1．证明时利用b_n+1=3b_n+2，整理得b_n+1+1=3（b_n+1），判断出{b_n+1}为等比数列，根据首项和公比求得{b_n}的通项公式．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的正整数m，使数列{ c_n }的前m项的和S_m=2008，再利用数列求和，求出S_m，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，a_n+1=a_n+1，∴{ a_n}是公差为1的等差数列．∴a_n=n．
（Ⅱ）b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，
猜想b_n=3^n-1-1．证明如下：b_n+1=3b_n+2，b_n+1+1=3（b_n+1），
∴{ b_n+1}是公比为3的等比数列．∴b_n+1=（b₁+1）3^n-1=3^n-1．则b_n=3^n-1-1．
（Ⅲ）数列{c_n}中，a_k项（含a_k）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

3k-3

，
估算知，当k=7时，其和是28+

37-3

=1120＜2008，当k=8时，其和是36+

38-3

=3315＞2008，又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
故存在这样的m，使得S_m=2008，此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．

点评：本题主要考查了程序框图、等差数列和等比数列的通项公式，及数列求和问题．由等差数列和等比数列构成的数列常可用分组求和法．

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科目：高中数学 来源： 题型：

25、按如图所示的程序框图操作：
（1）写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{a_n}，请写出数列{a_n}的通项公式；
（2）如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{3n}的前8项？
（3）如何变更B框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{4n-3}的前8项？