Question

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M，N，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1，依题意可得，可得，
所以，所求椭圆的标准方程为．（3分）
因为圆的圆心C和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长，
故园的标准方程为（x-2）²+y²=1．（5分）
（2）由（1）得圆心C（1，2），所以，而x²+y²-4x+3=0，则，
所以，（7分）
而（x-2）²+y²=1，则（x-2）²≤1，即-1≤x-2≤1，即1≤x≤3，
因此，从而（O为坐标原点）的取值范围为[3，7]．（10分）
（3）x²+y²表示圆上点P（x，y）与坐标原点O的距离的平方，因为原点O到圆心C（2，0）的距离为2，
圆的半径为1，所以P（x，y）与坐标原点O的距离的最小值为2-1=1，
与坐标原点O的距离的最大值为2+1=3，故x²+y²的最大值为9，最小值1．（14分）
分析：（1）设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1，依题意可得，由此能求出椭圆的标准方程和圆的标准方程．
（2）由圆心C（1，2），知x²+y²=4x-3，所以，而（x-2）²+y²=1，则1≤x≤3，由此能求出的取值范围．
（3）x²+y²表示圆上点P（x，y）与坐标原点O的距离的平方，因为原点O到圆心C（2，0）的距离为2，圆的半径为1，由此能求出x²+y²的最大值和最小值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．