Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，BC=，且M是BD的中点。

（1）求证：EM∥平面ADF；

（2）求二面角D－AF－B的余弦值；

（3）在线段ED上是否存在一点P，使得BP∥平面ADF?若存在，求出EP的长度；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，求出平面ADF、平面EBAF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D﹣AF﹣B的大小；

（3）假设在线段ED上存在一点P，使得BP与平面ADF平行，利用向量法即可得到结果.

（1）取AD的中点N，连接MN，NF。

在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以MN∥AB，MN=AB，

又因为EF∥AB，EF=AB，

所以MN∥EF且MN=EF，

所以四边形MNFE为平行四边形，

所以EM∥FN，

又因为FN平面ADF，EM平面ADF，

故EM∥平面ADF。

解法二：因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，

建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz。

由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），C（3，－2，0），

E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0）。

（1）=（，0，），=（3，－2，0），=（0，－1，）。

设平面ADF的一个法向量是

由得

令，则=（2，3，）。

又因为·=（，0，）·（2，3，）=3+0－3=0，

所以⊥，又EM平面ADF，所以EM∥平面ADF。

（2）由（1）可知平面ADF的一个法向量是=（2，3，）因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD，

又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF，故=（3，0，0）是平面EBAF的一个法向量，

所以>=，又二面角D－AF－B为锐角，故二面角D－AF－B的余弦值为。

（3）假设在线段ED上存在一点P，使得BP与平面ADF平行。

不妨设= =（3，0，－ ）（0≤≤1），

则=（3，0，3－ ）。所以·n=6+0+3－3=0，

由题意得=<0，所以在线段ED上不存在点P，使得BP与平面ADF平行。