Question

函数f（x）=sin2x-

3

cos2x（x∈R）的图象为C，以下结论中：
①图象C关于直线x=

11π

12

对称；    
②图象C关于点(

2π

3

，0)对称；
③函数f（x）在区间(-

π

12

，

5π

12

)内是增函数；
④由y=2sin2x的图象向右平移

π

3

个单位长度可以得到图象C．
则正确的是

①②③

．（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析：先将三角函数进行化简，然后分别利用三角函数的图形和性质去判断．①将x=

11π

12

代入，比较是不是最值．②将点(

2π

3

，0)代入函数，满足即为对称中心．③利用函数的单调性去判断区间．④通过平移对比两个表达式是否为同一个表达式．

解答：解：函数f（x）=sin2x-

3

cos2x=2(

1

2

sin?2x-

3

2

cos?2x)=2sin?(2x-

π

3

)．
①当x=

11π

12

时，f(

11π

12

)=2sin?(2×

11π

12

-

π

3

)=2sin?

3π

2

=-2为最小值，所以x=

11π

12

是函数的一条对称轴，所以①正确．
②当x=

2π

3

时，f(

2π

3

)=2sin?(2×

2π

3

-

π

3

)=2sin?π=0，所以图象C关于点(

2π

3

，0)对称，所以②正确．
③当-

π

12

＜x＜

5π

12

时，-

π

6

＜2x＜

5π

6

，-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，此时函数单调递增，所以③正确．
④由y=2sin2x的图象向右平移

π

3

个单位长度，得到y=2sin?2(x-

π

3

)=2sin?(2x-

2π

3

)，所以无法得到图形C，所以④错误．所以正确的是①②③
故答案为：①②③．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，先利用辅助角公式将三角函数进行化简，然后在研究相应的性质．