Question

已知函数f（x）=x²+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=________．

Answer 1

分析：若f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立，即x²+（2-k）x+1≤0对任意实数x∈（1，m]都成立，即（1，m]是不等式x²+（2-k）x+1≤0解集的一个子集，设不等式x²+（2-k）x+1≤0解集为a≤x≤b，则a≤1，b≥m，进而根据使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，构造关于k的方程，解方程即可得到答案．
解答：设g（x）=x²+（2-k）x+1
设不等式g（x）≤0的解集为a≤x≤b．
则△=（2-k）²-4＞=0，解得k≥4或k≤0
又∵函数f（x）=x²+2x+1，且f（x）＜=kx对任意实数x属于（1，m]恒成立；
∴（1，m]⊆[a，b]
∴a≤1，b≥m
∴f（1）=4-k＜0，解得k＞4
m的最大值为b，所以有b=5．
即x=5是方程g（x）=0的一个根，代入x=5我们可以解得k=
故答案为：
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，其中将已知条件转化为（1，m]是不等式x²+（2-k）x+1≤0解集的一个子集，是解答本题的关键．