Question

（2012•浙江模拟）设p：关于x的方程x²+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2，q：a≥2且|b|≤4，则下列说法正确的是（　　）

A．p是q的充要条件

B．p是q的充分不必要条件

C．p是q的必要不充分条件

D．p是q的既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：本题根据方程x²+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2，转化成关于a、b 的不等式，求解不等式得出a、b的范围，看是否充分，然后在a、b满足a≥2且|b|≤4的前提下，能否得到关于x的方程x²+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2，从而选出正确选项．

解答：解：因为关于x的方程有实数根，且两根均小于2，所以有

(2a)2-4b≥0 - 2a 2 ＜2 f(2)＞0

⇒

4a2-4b≥0 a＞-2 4+4a+b＞0

所以由方程有实数根不见得有a≥2，故p是q的不充分条件．
因为二次函数f（x）=x²+2ax+b的对称轴为x=-a，若a≥2，则-a≤-2＜2，又|b|≤4，所以f（2）=4+4a+b＞0，
△=（2a）²-4b=4a²-4b＞0，所以二次函数图象与x轴有两个交点，横坐标均小于2，所以方程x²+2ax+b=0有实数根，且两根都小于2，故p是q的必要条件．
故p是q的必要不充分条件．
故选C

点评：根据方程根的情况，借助于二次方、二次函数图象及二次不等式的结合，得出控制a、b的不等式组是解决本题的关键．