Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D上有两个动点E、F，且EF=

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，则下列结论中错误的是（　　）

• A、AC⊥BE
• B、A₁C⊥平面AEF
• C、三棱锥A-BEF的体积为定值
• D、异面直线AE、BF所成的角为定值

Answer 1

分析：通过直线AC垂直平面平面BB₁D₁D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB₁，AD₁，判断A₁C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．

解答：解：∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥BE．故A正确．
∵EF垂直于直线AB₁，AD₁，
∴A₁C⊥平面AEF．故B正确．
C中由于点B到直线B₁D₁的距离不变，故△BEF的面积为定值．
又点A到平面BEF的距离为

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，故V_A-BEF为定值．C正确
当点E在D₁处，F为D₁B₁的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，
当E在上底面的中心时，F在C₁的位置，
异面直线AE，BF所成的角是∠OE₁B
显然两个角不相等，D不正确．
故选D．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．