【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左顶点A作直线m,与圆O相交于两点R,S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围.
【答案】
(1)
解:由题意可得e= = ,
又圆O的方程为x2+y2=b2,
因为直线l:x﹣y+2=0与圆O相切,
b= ,由a2=3c2=3(a2﹣b2),即a2=3.
所以椭圆C的方程为
(2)
解:由(1)得知圆的方程为x2+y2=2.A(﹣ ,0),直线m 的方程为:y=k(x+ ).
设R(x1,y1),S(x2,y2),由
得
,
由△=12k4﹣4(1+k2)(3k2﹣2)>0的﹣ <k< …①
因为△ORS是钝角三角形,∴ = = .
…②
由A、R、S三点不共线,知k≠0. ③
由①、②、③,得直线m的斜率k的取值范围是(﹣ ,0)∪(0, )
【解析】(1)求得圆O的方程,运用直线和相切的条件:d=r,求得b,再由离心率公式和a,b,c的关系,可得a,进而得到椭圆方程;(2)先设出点R,S的坐标,利用△ORS是钝角三角形,求得 =x1x2+y1y2<0,从而求出斜率k的取值范围
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【题目】用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形,再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径,则圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形,再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径,则圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】(本小题共14分)
如图,在四棱锥中, 平面,底面是菱形, .
(Ⅰ)求证: 平面
(Ⅱ)若求与所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长.
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
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【题目】从某居民区随机抽取个家庭,获得第个家庭的月收入 (单位:千元)与月储蓄 (单位:千元)的数据资料,算得,,,.
(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程;
(2)判断变量与之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为千元,预测该家庭的月储蓄.其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为,附:线性回归方程中, ,.
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