Question

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sinB（2cos²

B

2

-1）=-

3

cos2B．
（1）求B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）将已知等式左边括号中的两项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，然后等式左右两边同时除以cos2B，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan2B的值，由B为锐角得出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由B的度数求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，将cosB及b的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinB的值及ac的最大值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）由2sinB（2cos²

B

2

-1）=-

3

cos2B，
得2sinBcosB=sin2B=-

3

cos2B，
∴tan2B=-

3

，…（4分）
∵B为锐角，即0＜2B＜π，
∴2B=

2π

3

，
∴B=

π

3

；…（6分）
（2）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac（当且仅当a=c=2时等号成立），…（9分）
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，
则△ABC的面积最大值为

3

．…（12分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．