Question

如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，边坡的倾斜角是45°.

(1)试将横断面中水的面积A(m²)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．

Answer 1

(1) A＝＝h²＋2h(m²)；
(2) 定义域为{h|0＜h＜1.8}        值域为{A|0＜A＜6.84}；
(3)见解析

解：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h) m，高为h m，
∴水的面积A＝＝h²＋2h(m²)．
(2)定义域为{h|0＜h＜1.8}．值域由二次函数A＝h²＋2h(0＜h＜1.8)求得．由函数A＝h²＋2h＝(h＋1)²－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0＜A＜6.84.
故值域为{A|0＜A＜6.84}．

(3)函数图象如下确定．
由于A＝(h＋1)²－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h²＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．

点评：建立函数解析式的关键是找到自变量、对应关系和函数值．对于实际问题，函数的定义域除了使解析式有意义外，还要考虑到它的实际意义．