【题目】某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)分别求第3,4,5组的频率;
(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.
【答案】(Ⅰ) , , ; (Ⅱ) , , ;(Ⅲ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据频率分布直方图的性质和所给的频率分布直方图中小矩形的长和宽,求出矩形的面积,即这组数据的频率;(Ⅱ)由(Ⅰ)求得的频率可得到、、组各自的频数,再根据分层抽样的定义进行求解;(Ⅲ)由题意知从六位同学中抽两位同学基本事件共有共种,第组的位同学至少有一位同学入选的基本事件共有种,由古典概型概率公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)由题设可知,第组的频率为,
第组的频率为,
第组的频率为.
(Ⅱ)第组的人数为,
第组的人数为,
第组的人数为.因为第, , 组共有名学生,
所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生,每组抽取的人数分别为:
第组: , 第组: ,第组: .
所以第, , 组分别抽取人, 人, 人.
(Ⅲ)设第组的位同学为, , ,
第组的位同学为, ,第组的位同学为.
则从六位同学中抽两位同学有:
共种可能.
其中第组的位同学为, 至少有一位同学入选的有:
共种可能,
所以第组至少有一名学生被甲考官面试的概率为.
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【题目】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试数学(理)】已知函数,其中常数.
(Ⅰ)讨论在上的单调性;
(Ⅱ)当时,若曲线上总存在相异两点,使曲线在两点处的切线互相平行,试求的取值范围.
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【题目】近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(,简称)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照大小分为六级, 为优; 为良; 为轻度污染; 为中度污染; 为重度污染;大于300为严重污染.环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下:
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良()的天数;(按这个月总共30天计算)
(2)现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率;
(3)将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为,求的概率分布列和数学期望.
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【题目】某大学的名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐名同学(乘同一辆车的名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有_______种(有数字作答).
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【题目】(1)求证: .
(2)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式.
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【题目】已知函数同时满足:①对于定义域上的任意,恒有;②对于定义域上的任意, ,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中:(1);(2);(3).“理想函数”有__________.(只填序号)
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【题目】已知为上的偶函数,当时, .对于结论
(1)当时, ;(2)函数的零点个数可以为4,5,7;
(3)若,关于的方程有5个不同的实根,则;
(4)若函数在区间上恒为正,则实数的范围是.
说法正确的序号是__________.
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【题目】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A. 36 B. 45 C. 99 D. 100
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