Question

设函数f（x）=x³-3x+5，若关于x的方程f（x）=a至少有两个不同实根，则a的取值范围是

[3，7]

．

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-a=x³-3x+5-a，然后对函数求导，求出极值点，判定函数的单调性，要至少有两个不同实根，则g（-1）≥0且g（1）≤0，解之即可求出a的范围．

解答：解：令g（x）=f（x）-a=x³-3x+5-a
对函数求导，g′（x）=3x²-3=0，x=-1，1．
x＜-1时，g（x）单调增，-1＜x＜1时，单减，x＞1时，单增，
要使关于x的方程f（x）=a至少有两个不同实根，则g（-1）=-1+3+5-a≥0且g（1）=1-3+5-a≤0．
解得3≤a≤7
故答案为：[3，7]

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数与方程的思想，属于中档题．