Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²-1上，过右焦点作相互相垂直的两条弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线MN恒过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²-1上，可得b=c=1，从而可求椭圆的方程；
（2）直线AB的方程与椭圆方程联立，确定M、N的坐标，可得直线MN的方程，化简即可得到直线MN恒过定点．

解答：（1）解：由题意，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²-1上
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）证明：当AB的斜率为0或不存在时，直线MN的方程为y=0；
当AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x-1）
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点M的坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
直线AB的方程y=k（x-1）与椭圆方程联立，消去y可得（2k²+1）-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=

4k2

2k2+1

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

2k2+1

∴M（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

）
同理可得N（

2

k2+2

，

k

k2+2

）
∴直线MN的方程为：

y+ k 2k2+1

k k2+2 + k 2k2+1

=

x- 2k2 2k2+1

2 k2+2 - 2k2 2k2+1

化简可得（2-2k²）y=3k（x-

2

3

）
∴直线MN恒过定点（

2

3

，0）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，确定直线MN的方程是关键．