Question

若函数g（x）=log_a（x+1）（a＞0，且a≠1），函数g（x）的图象与函数h（x）的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）试写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）设f（x）=g（x）-h（x），判断函数f（x）的奇偶性并予以证明；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）函数g（x）的图象与函数h（x）的图象关于y轴对称，则h（x）=g（-x），代入可得答案．
（II）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，得到结论；
（III）由0＜a＜1，结合对数函数的单调性及函数的定义域，将原不等式转化为相应的整式不等式组，可得答案．

解答：解：（I）∵函数g（x）的图象与函数h（x）的图象关于y轴对称
∴h（x）=g（-x）=log_a（-x+1）
（II）f（x）=g（x）-h（x）=log_a（x+1）-log_a（-x+1）的定义域为（-1，1），关于原点对称
又∵f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（x+1）=-[log_a（x+1）-log_a（-x+1）]=-f（x）
故函数f（x）为奇函数
（III）当0＜a＜1时，
不等式f（x）＞0可化为

1+x＞0 1-x＞0 1+x＜1-x

解得-1＜x＜0
即使F（x）＞0的x的取值范围为（-1，0）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．