Question

当今世界进入了计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口A和一运算结果输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：
①从A输入1时，从B得到

1

3

；
②从A输入整数n（n≥2）时，在B得到的结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以奇数2n-3，再除以奇数2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）试由（1）推测f（n）的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）求

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…+f(n)．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出f（n）=

2n-3

2n+1

f（n-1）（n≥2）．依次令n=2，3，4可求出f（2），f（3），f（4）；
 （2）根据（1）的结果，推测并依照数学归纳法进行证明．
（3）f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

裂项为

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．求和后再求极限．

解答：（1）解：是题意知f（1）=

1

3

，f（n）=

2n-3

2n+1

f（n-1），
∴当n=2时f（x）=

1

15

，
当n=3时f（3）=

1

35

，
当n=4时f（4）=

1

63

，
猜想f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．…（3分）
（2）证明：（ⅰ）当n=1时f（1）=

1

3

满足f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．
（ⅱ）假设n=k（k∈N^*且k≥1）时，f（k）=

1

(2n-1)(2n+1)

．，
那么n=k+1时，f（k+1）=

2k-1

2k+3

f（k）=

2k-1

2k+3

×

1

(2k-1)(2k+1)

=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

∴n=k+1时也满足f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．
综上知：f（n）=

1

(2n-1)(2n+1)

．…（8分）
（3）

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…+f(n)=

lim

n→∞

[

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

]
=lim

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

lim

n→∞

(1-

1

2n+1

)=

1

2

                                    …（12分）

点评：本题考查阅读、推理、论证、计算能力，借助于数列的递推公式，裂项法求和、极限的知识继续能力考查．