Question

已知函数f(x)=(

1

3

)x，函数g(x)=log

1

3

x．
（1）若函数y=g（mx²+2x+m）的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=g[f（x²）]的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲使函数y=g（mx²+2x+m）的值域为R，只需要内层函数的值域中包含了全体正数，当m=0时显然满足，当m不为0时，内层函数为二次函数，需要开口向上且判别式大于等于0，即可满足要求．
（2）x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3是一个复合函数，复合函数的最值一般分两步来求，第一步求内层函数的值域，第二步研究外层函数在内层函数值域上的最值，本题内层函数的值域是确定的一个集合，而外层函数是一个系数有变量的二次函数，故本题是一个区间定轴动的问题．
（3）假设存在，先求出函数y=g[f（x²）]的解析式，为y=x²，则函数在[m，n]上单调增，故有[m²，n²]=[2m，2n]解出m，n的值说明假设成立，若解不出，则说明假设不成立．

解答：解：（1）①当m=0时，满足条件；
②当m≠0时，有

m＞0 △≥0

?0＜m≤1
综上可得，0≤m≤1．
（2）令f(x)=t(

1

3

≤t≤3)，则y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²
①当a＜

1

3

时，h(a)=

28

9

-

2

3

a
②当

1

3

≤a≤3时，h（a）=3-a²
③当a＞3时，h（a）=12-6a
故h（a）=

28 9 - 2 3 a    a＜ 1 3 3-a2     1 3 ≤a≤3 12-6a     a＞3

；
（3）假设存在实数m，n满足条件，则有0≤m＜n，
化简可得函数表达式为y=x²，则函数在[m，n]上单调递增，
故值域为[m²，n²]=[2m，2n]
解得m=0，n=2
故存在m=0，n=2满足条件．

点评：本题的考点是函数的最值及其几何意义，考查了恒成立的问题，用分段函数表示函数的最小值，以及判断存在性的问题，涉及到的知识点较多，难度较大，综合性强．