Question

记[x]为不超过实数x的最大整数．例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{x_n}满足x₁＝a，x_n＋1＝ (n∈N^*)．现有下列命题：
①当a＝5时，数列{x_n}的前3项依次为5,3,1；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n＝x_k；
③当n≥1时，x_n＞－1；
④对某个正整数k，若x_k＋1≥x_k，则x_k＝[]．
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

Answer 1

③④

当a＝5时，x₂＝＝3，
x₃＝＝2.①错；令a＝3，
x₂＝＝2，x₃＝＝1，
x₄＝＝2，以后各项均为1,2交替出现，②错；易证x∈N^*时，≥，所以x_n＋1＝≥＞≥－1，③正确；因为
x_n＋1＝≤≤，所以≥x_k，x_k≤，所以x_k≤，又由③知x_k＞－1，有－1＜x_k≤，又x_k∈N^*，因此x_k＝[]，④正确