Question

15．（Ⅰ）求不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集；
（Ⅱ）设a＞b＞0，求证：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值不等式可化为$\left\{\begin{array}{l}x≤-3\\-x-3+x-2≥3\end{array}$，或$\left\{\begin{array}{l}-3＜x＜2\\ x+3+x-2≥3\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ x+3-x+2≥3\end{array}$，解得即可，
（Ⅱ）法一，利用作差法比较即可，
法二，利用做商法比较即可．

解答 （Ⅰ）解：原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x≤-3\\-x-3+x-2≥3\end{array}$，或$\left\{\begin{array}{l}-3＜x＜2\\ x+3+x-2≥3\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ x+3-x+2≥3\end{array}$，
解得1≤x＜2或x≥2，
故原不等式的解集为{x|x≥1}．
（Ⅱ）证明：法一：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{a-b}{a+b}$=$\frac{{a}^{3}-{b}^{3}-a{b}^{2}+{a}^{2}b-{a}^{3}+{b}^{3}+{a}^{2}b-a{b}^{2}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）（a+b）}$，
=$\frac{2{a}^{2}b-2a{b}^{2}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）（a+b）}$=$\frac{2ab（a-b）}{（{a}^{2}+{b}^{2}）（a+b）}$，
因为a＞b＞0，所以a-b＞0，ab＞0，a²+b²＞0，a+b＞0．
所以$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{a-b}{a+b}$＞0，
所以$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$
法二：因为a＞b＞0，所以a+b＞0，a-b＞0．
所以$\frac{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}{\frac{a-b}{a+b}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$•$\frac{a+b}{a-b}$=$\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=1+$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞1．
所以$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的大小比较，属于中档题