Question

一个三棱锥S-ABC的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥S-ABC的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
（3）求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三视图，我们可以判断出已知三棱锥B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，进而我们求出底面ABC的面积和高SO的长，代入棱锥体积公式即可得到答案．
（2）解法一：以O为原点，OA为x轴，过O且平行于BD的直线为y轴，OS为z轴，建立如图空间直角坐标系，求出面SAB的一个法向量

m

，代入公式d=|

CA • m

m

|，即可求出点C到平面SAB的距离；
解法二：设点C到平面SAB的距离为d，由三棱锥S-ABC的体积4=VS-ABC=VC-SAB=

1

3

×S△SAB×d，即可得到点C到平面SAB的距离；
（3）解法一：求出平面ABC一个法向量

n

，结合（2）中面SAB的一个法向量

m

，代入向量夹角公式，即可得到二面角S-AB-C的余弦值．
解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，则OE⊥AB，连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO为二面角S-AB-C的平面角．解Rt△SEO即可得到到二面角S-AB-C的余弦值．

解答：解：（1）由正视图、俯视图知AC=4；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则BD=3，BD⊥平面SAC，BD⊥AC；
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则SO=2，SO⊥平面ABC，SO⊥AC．如图．
三棱锥S-ABC的体积VS-ABC=

1

3

×(

1

2

×4×3)×2=4．
（2）解法一：
以O为原点，OA为x轴，过O且平行于BD的直线为y轴，OS为z轴，建立如图空间直角坐标系，可求S（0，0，2）A（3，0，0）B（1，3，0），

SA

=(3，0，-2)，

SB

=(1，3，-2)，
设

m

=(x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则

m • SA =3x-2y=0 m • SB =x+3y-2z=0

，取

m

=(3，2，

9

2

)，
可知C(-1，0，0)，

CA

=(4，0，0)，设点C到平面SAB的距离为d，
则d=|

CA • m

m

|=

24 133

133

．
（2）解法二：可求AB=

AD2+BD2

=

13

，SA=

AO2+SO2

=

13

，SB=

SO2+OB2

=

SO2+BD2+DO2

=

14

，
△SAB的面积S△SAB=

1

2

×

14

×

( 13 )2-( 14 2 )2

=

133

2

，
设点C到平面SAB的距离为d，
由三棱锥S-ABC的体积4=VS-ABC=VC-SAB=

1

3

×S△SAB×d，
得d=

12

S△SAB

=

12

133 2

=

24 133

133

．
（3）解法一：可知

n

=(0，0，1)是平面ABC一个法向量，故|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |×| n |

|=

9 133

133

，
二面角S-AB-C的余弦值为

9 133

133

．
（3）解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，则OE⊥AB，
连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO为二面角S-AB-C的平面角．
△ABC中，易求BA=BC=

13

，
由△ABC的面积，

1

2

×AC×BD=

1

2

×AB×CH，CH=

AC×BD

AB

=

12 13

13

，
△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故OE=

3

4

CH=

9 13

13

，Rt△SEO中，tan∠SEO=

SO

OE

=

2 13

9

，
故cos∠SEO=

9

92+(2 13 )2

=

9 133

133

，二面角S-AB-C的余弦值为

9 133

133

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，点到平面的距离公式，其中（1）的关键是根据已知的三视图判断出几何体的形状及底面棱长，高等关键的几何量，（2）（3）的解法一（向量法）关键是要建立适当的空间坐标系，熟练掌握向量法求距离和夹角的公式．