Question

设函数
（1）当a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
（3）若对一切正实数x恒有，求a的范围．

Answer 1

解：（1）当a=0.1时，f（x）=lg（0.1x）•lg
∴f（1000）=lg100•lg=2×（-7）=-14
（2）∵f（10）=lg（10a）•lg=（1+lga）（lga-2）=lg²a-lga-2=10
∴lg²a-lga-12=0
∴（lga-4）（lga+3）=0
∴lga=4或lga=-3
a=10⁴或a=10^-3
（3）∵对一切正实数x恒有
∴lg（ax）•lg对一切正实数恒成立
即（lga+lgx）（lga-2lgx）
∴对任意正实数x恒成立
∵x＞0，∴lgx∈R
由二次函数的性质可得，
∴lg²a≤1
∴-1≤lga≤1
∴0
分析：（1）当a=0.1时，f（x）=lg（0.1x）•lg，把x=1000代入可求
（2）由f（10）=lg（10a）•lg=（1+lga）（lga-2）=lg²a-lga-2=10可求lga，进而可求a
（3）由对一切正实数x恒有可得lg（ax）•lg对一切正实数恒成立，整理可得对任意正实数x恒成立，由x＞0，lgx∈R，结合二次函数的性质可得，，从而可求
点评：本题主要考查了对数的基本运算性质的应用，二次函数恒成立问题的求解，属于基本公式及基本方法的简单应用．