Question

已知函数f（x）的图象与函数g（x）=2^x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1-|x|），则关于函数h（x）有以下命题：
（1）h（x）的图象关于原点（0，0）对称；　（2）h（x）的图象关于y轴对称；
（3）h（x）的最小值为0；　　　　　     　（4）h（x）在区间（-1，0）上单调递增．
正确的是

（2）（4）

．

Answer 1

分析：先根据函数f（x）的图象与函数g（x）=2^x的图象关于直线y=x对称求出函数f（x）的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项．

解答：解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=2^x的图象关于直线y=x对称
∴f（x）=log₂x
∴h（x）=f（1-|x|）=log₂（1-|x|） x∈（-1，1）
而h（-x）=log₂（1-|-x|）=h（x）
则h（x）不是奇函数是偶函数，故（1）不正确，（2）正确
该函数在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴h（x）有最大值为0，无最小值
故选项（3）不正确，（4）正确
故答案为：（2）（4）

点评：本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于基础题．