Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-1）．
（1）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=$\sqrt{3}，b=2，sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求$f（x）+4cos（2A+\frac{π}{6}）（x∈[0，\frac{π}{4}]）$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$即可得出$tanx=-\frac{3}{4}$，而$co{s}^{2}x-sin2x=\frac{co{s}^{2}x-2sinxcosx}{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}$，分子分母同除以cos²x即可求出cos²x-sin2x的值；
（2）先求出$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}$，而根据正弦定理即可求出$A=\frac{π}{4}$，从而得出$f（x）+4cos（2A+\frac{π}{6}）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$，这样根据x的范围可求出$2x+\frac{π}{4}$的范围，进而求出$f（x）+4cos（2A+\frac{π}{6}）$的范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow a=（sinx，\frac{3}{4}）\;，\;\overrightarrow b=（cosx，-1）$；
∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
∴$-sinx=\frac{3}{4}cosx$，即$tanx=-\frac{3}{4}$；
则cos²x-sin2x=cos²x-2sinxcosx
=$\frac{co{s}^{2}x-2sinxcosx}{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}$
=$\frac{1-2tanx}{1+ta{n}^{2}x}$
=$\frac{1+\frac{3}{2}}{1+\frac{9}{16}}$
=$\frac{8}{5}$；
（2）$f（x）=2（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}$
=$2（sinxcosx+co{s}^{2}x+\frac{1}{4}）$
=$sin2x+cos2x+\frac{3}{2}$
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}$；
∵$a=\sqrt{3}，b=\sqrt{2}，sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得：$sinA=\frac{asinB}{b}=\frac{{\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
∵a＜b，∴A＜B；
∴$A=\frac{π}{4}$；
∴原式=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）-\frac{1}{2}$；
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$；
∴$1≤\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）≤\sqrt{2}$，则：
$\frac{1}{2}≤\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}≤\sqrt{2}-\frac{1}{2}$；
即所求式子的范围为$[\frac{1}{2}，\sqrt{2}-1]$．

点评 考查弦化切公式，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦定理，正弦函数的图象．