Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明 PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求VB﹣EFD ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC，交BD于O，连结EO，

因为ABCD是正方形，点O是AC的中点，在三角形PAF中，EO是中位线，

所以PA∥EO，而EO面EDB，且PA面EDB，所以PA∥平面EDB

（2）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC

在底面正方形中，DC⊥BC，

所以BC⊥面PDC，而DE面PDC，

所以BC⊥DE，

又PD=DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，

所以DE⊥面PBC，而PB面PBC，

所以DE⊥PB，

又EF⊥PB，且DE∩EF=E，

所以PB⊥平面EFD

（3）解：因为PD=DC=2，所以 ， ，

因为 ，所以 ，

即 ， ，

，DE= ，BF= = = ，

所以VB﹣EFD= ×DE×EF×BF= × × = ．

【解析】（1）利用线面平行的判定定理证明线面平行．（2）利用线面垂直的判定定理证明．（3）利用锥体的体积公式求体积．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．