Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）经过点（1， ），且离心率等于 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C： （a＞b＞0）经过点（1， ），且离心率等于 ， ∴ =1， = ，
∴a=2，b= ，
∴椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
联立椭圆方程得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣2）=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2= ，
由PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，代入得4k2+8mkx+3m2=0
∴m=﹣2k（舍去），m=﹣ k，
∴直线AB的方程为y=k（x﹣ ），所以过定点（ ，0）
【解析】（Ⅰ）利用椭圆C： （a＞b＞0）经过点（1， ），且离心率等于 ，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即可得出m与k的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．