Question

已知抛物线C：y²=2px，直线l：y=x-2与抛物线C交于点A，B，与x轴交于点M．
（1）若抛物线焦点坐标为(

1

4

，0)，求直线l与抛物线C围成的面积；
（2）直线y=2x与抛物线C交于异于原点的点P，MP交抛物线C于另一点Q，求证：当p变化时，点Q在一条定直线上．

Answer 1

分析：（1）由题意知抛物线方程为y²=x，抛物线与直线l：y=x-2的交点坐标为（1，-1）和（4，2），由此可求出直线l与抛物线C围成的面积．
（2）解方程组

y2=2px y=2x

得P(

p

2

，p)，M（2，0），由此可知当p变化时，点Q在一条定直线y=-4上．（10分）

解答：解：（1）抛物线方程为y²=x
抛物线与直线l：y=x-2的交点坐标为（1，-1）和（4，2）
直线l与抛物线C围成的面积为：2

∫

1 0

x

dx+

∫

4 1

[

x

-(x-2)]dx=

9

2

（4分）
（2）解方程组

y2=2px y=2x

得P(

p

2

，p)，M（2，0）
PQ直线方程为y=

2p

p-4

(x-2)与抛物线y²=2px交点Q纵坐标为-4
当p变化时，点Q在一条定直线y=-4上．（10分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．