已知R上的连续函数g(x)满足:①当x＞0时.g′为函数g,②对任意x∈R都有g满足:对任意的x∈R都有f(3+x)=-f(x)成立.当x∈[-3.3]时.f(x)=x3-3x．若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a2-a+2)对x∈[-32-23.32-23]恒成立.则a的取值范围是( ) A.a≥1或a≤0B.0≤a≤1C.-12-343≤a≤-12+343?D.a� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知R上的连续函数g（x）满足：
①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；
②对任意x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R都有f(

+x)=-f(x)成立，当x∈[-

，

]时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对x∈[-

-2

，

-2

]恒成立，则a的取值范围是（　　）

A、a≥1或a≤0

B、0≤a≤1

C、-

≤a≤-

D、a∈R

分析：由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-

-2

，

-2

]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答：解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-

-2

，

-2

]恒成立，只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，由于当x∈[-

，

]时，f（x）=x³-3x，
求导得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），该函数过点（-

，0)，（0，0），（

，0)，
且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2，又由于对任意的x∈R都有f(

+x)=-f(x)?f(2

+x)=-f(

+x)=f(x)成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2

，所以函数f（x）在x∈[-

-2

，

-2

]的最大值为2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选A

点评：此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得当x∈[-

，

]时，f（x）=x³-3x，的值域为[-2，2]，还考查了函数恒成立．

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