Question

在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．
（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；
（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？

Answer 1

解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，
∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，
∴P（X=0）=；
P（X=1）=；
P（X=2）=；
P（X=3）=；
P（X=4）=；
P（X=5）=．
∴随机变量X的概率分布如下表：
E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×
=≈2.73
（2）由题意知
①上场队员有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（种）
②上场队员有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（种）
③上场队员有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（种）
教练员组队方案共有144+45+2=191种．
分析：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，当X=1时，表示主力队员参加比赛的人数为1，当X=2时，表示主力队员参加比赛的人数为2，以此类推，写出概率和分布列求出期望．
（2）上场队员有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（种）；上场队员有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（种）；上场队员有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（种）．列出三种情况，相加得到结论．
点评：本题考查离散型随机变量的期望和应用，本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．