Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′，P是线段BB'上的异于端点B、B′的点，设PA∩A′B=E，PC∩BC′=F．
（1）当P是BB′中点时，异面直线PC、AD所成角的正切值；
（2）求证：EF∥面ABCD．

Answer 1

分析：（1）根据BC∥AD，判定∠PCB即为异面直线PC，AD所成角，在△PBC中求其正切值．
（2）利用三角形相似，判断线段成比例，来证明EF∥AC，在有线线平行证线面平行．

解答：解：（1）在正方体正方体ABCD-A′B′C′D′中，∵BC∥AD，
∴∠PCB即为异面直线PC，AD所成角，
 在△PBC中，∵P是BB′中点，∴PB=

1

2

BB′=

1

2

BC，
∴tan∠PCB=

PB

BC

=

1

2

．         
（2）∵AA′∥BB′，∴△PEB∽△A'AE，∴

PE

EA

=

PB

A′A

，
同理有

PF

FC

=

PB

CC′

，
∵A′A=C′C，∴

PB

A′A

=

PB

CC′

，
∴在△PAC中，有

PE

EA

=

PF

FC

．
∴EF∥AC，又EF?面ABCD，AC?面ABCD，
∴EF∥面ABCD．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力，逻辑推理能力．