Question

（2010•天津模拟）如果实数x、y满足

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值3，那么实数k的值为

2

．

Answer 1

分析：先画出可行域，得到角点坐标．再通过对斜率的分类讨论得到最大最小值点，与原题相结合即可得到答案．

解答：解：可行域如图，
得：A（1，4.4），B（5，2），C（1，1）．
又l₁：x-4y+3=0的斜率k₁=

1

4

；
l₂：3x+5y-25=0的斜率k₂=-

3

5

．
①当-k＜-

3

5

时，C为最小值点，B为最大值点；
有：5k+2=12，且k+1=3，
⇒k=2；
②当-k＞

1

4

时，C为最小值点，A为最大值点；
有：k+4.4=12，且k+1=3，
⇒k无解；
③当-

3

5

＜-k＜0时，C为最小值点，A为最大值点；
有：k+4.4=12，且k+1=3，
⇒k无解；
④当-k∈（0，

1

4

）时，C为最小值点，A为最大值点．
有：k+4.4=12，且k+1=3，
⇒k无解；
∴由①得k=2，其它情况的解都不符合要求．
故k=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．