Question

如图，已知ABCD是底角为30°的等腰梯形，AD=2

3

，BC=4

3

，取两腰中点M、N分别交对角线BD、AC于G、H，则

AG

•

AC

=（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：以BC所在直线为x轴，B为原点建立如图直角坐标系，可得A、B、C、D各点的坐标．利用梯形的中位线定理，结合题中数据算出G（

3 3

2

，

1

2

），从而得到向量

AG

=（

3

2

，-

1

2

），再求出向量

AC

的坐标，利用向量数量积的坐标公式，即可算出

AG

•

AC

的值．

解答：解：以BC所在直线为x轴，B为原点建立如图直角坐标系
可得A（

3

，1），B（0，0），C（4

3

，0）
D（3

3

，1）
∵MN是梯形ABCD的中位线
∴设G（m，

1

2

）
由

BG

=（m，

1

2

），

BD

=（3

3

，1）且

BG

∥

BD

可得m×1=

1

2

×3

3

，解得m=

3 3

2

，G（

3 3

2

，

1

2

）
由此可得

AG

=（

3

2

，-

1

2

），
∵

AC

=（3

3

，-1），∴

AG

•

AC

=

3

2

×3

3

+（-

1

2

）•（-1）=5
故选：C

点评：本题给出底角为30度的等腰梯形，求数量积

AG

•

AC

的值．着重考查了向量的坐标运算、向量平行的条件和向量数量积的运算公式等知识，属于中档题．