Question

（2013•海口二模）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求异面直线BS与AC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）由等边三角形三线合一，可得SO⊥BC，由勾股定理可得OA⊥SO，结合线面垂直的判定定理得到SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）分别取AB、SC、OC的中点N、M、H，连MN、OM、ON、HN、HM，由三角形中位线定理及异面直线夹角的定义，可得OM、ON所成角即为异面直线BS与AC所成角，解三角形MON可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）因为侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，所以SB=SC
又O为BC中点，所以SO⊥BC
连OA，设AB=2，由∠BAC=90°易求得0A=S0=

2

所以OA²+SO²=SA²，所以OA⊥SO
因为OA，BC是平面ABC内的两条相交直线，所以SO⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）分别取AB、SC、OC的中点N、M、H，连MN、OM、ON、HN、HM，
由三角形中位线定理
ON∥AC，ON=

1

2

AC，OM∥BS，OM=

1

2

BS，HM∥OS，HM=

1

2

OS
所以OM、ON所成角即为异面直线BS与AC所成角
设AB=2，易求得                    
IN=IM=1，MN=

3

|cos∠MON|=|

ON2+OM2-MN2

2•ON•OM

|=

1

2

所以异面直线BS与AC所成角的大小为

π

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，其中（I）的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是确定异面直线的夹角．