Question

圆C：(x-1)²+(y-2)²＝25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4＝0(m∈R).

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；

(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度.并求此时m的值.

Answer 1

【探究】  说明直线与圆恒相交，只要说明直线恒过圆内一点，所以求出直线l所过的定点，此定点在圆内，问题1即得证；直线被圆截得的弦中最短的一条就是过定点且与过定点的直径垂直的弦，其斜率可由直径的斜率求得.

(1)证明：直线方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0，m∈R，这表明此直线经过一个定点，由得定点坐标为A(3，1).

又(3-1)²+(1-2)²＜25，所以点A在圆内，直线l一定与圆有两个交点.

(2)解：结合图象，当圆心与点A的连线与过A的弦垂直时，截得的弦长最短，

，解得m=.

【规律总结】 证明直线与圆恒相交，一是可以将直线与圆的方程联立得方程组，进而转化为一元二次方程，若Δ＞0，则说明方程组有两解，也说明直线与圆相交，这是一种通用方法，但过程烦琐，计算量大；二是说明直线过圆内一点，由此直线与圆必相交.对于圆中过点A的弦，以直径为最长，过A与此直径垂直的弦为最短.