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14.设函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R),当x=$\frac{4}{3}$时,f(x)取极小值0,则实数b=$\frac{32}{27}$.

分析 根据函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R),当x=$\frac{4}{3}$时,f(x)取极小值0,得到f′($\frac{4}{3}$)=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$a=0,f($\frac{4}{3}$)=$\frac{64}{27}$+$\frac{16}{9}$a+b,即可求出b.

解答 解:∵f(x)=x3+ax2+b,∴f′(x)=3x2+2ax,
∵函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R),当x=$\frac{4}{3}$时,f(x)取极小值0,
∴f′($\frac{4}{3}$)=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$a=0,f($\frac{4}{3}$)=$\frac{64}{27}$+$\frac{16}{9}$a+b,
∴a=-2,b=$\frac{32}{27}$.
故答案为:$\frac{32}{27}$.

点评 本题考查函数在某一点取得极值的条件,是一个基础题,本题解题的关键是函数在这一点取得极值,则函数在这一点点导函数等于0,注意这个条件的应用.

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