Question

设f（x）=lnx．
（1）设F(x)=f(x+2)-

2x

x+1

，求F（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4对任意a∈[-1，1]，x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx．F(x)=f(x+2)-

2x

x+1

，可得F（x）的解析式，及定义域，利用导数法，分别判断F'（x）在各个区间上的符号，即可得到F（x）的单调区间；
（2）根据对数函数f（x）=lnx的单调性，可将不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4化为ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²+3am+4，即ln

x+1

2x+1

≤3ma+4-m2，求出y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值为0，结合一次函数的性质，可以构造关于m的不等式组，解不等式组可得m的取值范围．

解答：解：（1）F(x)=ln(x+2)-

2x

x+1

，定义域为：（-2，-1）∪（-1，+∞）.F′(x)=

1

x+2

-

2(x+1)-2x

(x+1)2

=

1

x+2

-

2

(x+1)2

=

(x+1)2-2(x+2)

(x+2)(x+1)2

=

x2-3

(x+2)(x+1)2

．
令F'（x）＞0，得单调增区间（-2，-

3

)和(

3

，+∞），
令F'（x）＜0，得单调增区间(-

3

，-1）和（-1，

3

)．
（2）等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4化为ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²+3am+4，ln

x+1

2x+1

≤3ma+4-m2．
现在只需求y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值和y=3ma+4-m²（a∈[-1，1]）的最小值.

x+1

2x+1

=

1

2

+

1

2(2x+1)

在[0，1]上单调递减，所以y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值为0．
而y=3ma+4-m²（a∈[-1，1]）是关于a的一次函数，
故其最小值只能在x=-1或x=1处取得于是得到

m2+3m-4≤0 m2-3m-4≤0

，

-4≤m≤1 -1≤m≤4

，
所以m的取值范围是：[-1，1]．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，其中熟练掌握导函数值符号与原函数单调性的关系，是解答本题的关键．