Question

在（2x-3y）¹⁰的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

Answer 1

(1) 2¹⁰ (2) 1(3) 2⁹（4）（5）

设(2x-3y)¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰           (*)
各项系数和即为a₀+a₁+…+a₁₀,奇数项系数和为a₀+a₂+…+a₁₀,偶数项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的奇次项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的偶次项系数和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀.
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
（1）二项式系数和为C+C+…+C=2¹⁰.
（2）令x=y=1,各项系数和为(2-3)¹⁰=(-1)¹⁰=1.
（3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=2⁹,
偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=2⁹.
(4)设（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰
令x=y=1,得到a₀+a₁+a₂+…+a₁₀="1                                 " ①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)
得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰                                        ②
①+②得2(a₀+a₂+…+a₁₀)=1+5¹⁰,
∴奇数项的系数和为；
①-②得2(a₁+a₃+…+a₉)=1-5¹⁰,
∴偶数项的系数和为.
（5）x的奇次项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉=;
x的偶次项系数和为a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=.