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(本小题满分12分) 设不等式组表示的平面区域为,区域内的动点到直线和直线的距离之积为2, 记点的轨迹为曲线. 是否存在过点的直线l, 使之与曲线交于相异两点,且以线段为直径的圆与y轴相切?若存在,求出直线l的斜率;若不存在, 说明理由.
k=-
由题意可知,平面区域如图阴影所示.设动点为,则
,即


xy<0,即x2y2<0.
所以y2x2=4(y>0),即曲线的方程为
=1(y>0)     
,则以线段为直径的圆的圆心为.
因为以线段为直径的圆轴相切,所以半径 ,即
       
因为直线AB过点F(2,0),当AB ^x轴时,不合题意.所以设直线AB的方程为yk(x-2).代入双曲线方程=1(y>0)得:
k2(x-2)2x2=4,即
(k2-1)x2-4k2x+(8k2-4)=0.
因为直线与双曲线交于AB两点,所以k≠±1.于是
x1x2x1x2
故   |AB|=  
=|x1x2|=||,
化简得:k4+2k2-1=0
解得: k2-1 (k2=--1不合题意,舍去).
由△=(4k2)2-4(k2-1)(8k2-4)=3k2-1>0,又由于y>0,所以-1<k<-
所以, k=-         
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