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13.已知实数c>0,设P:函数y=cx在R上单调递减,Q:关于x的一元二次方程x2-cx+$\frac{1}{8}$c=0有两个不相等的实数根,如果命题“P∨Q”为真命题,命题“P∧Q”为假命题,求实数c的取值范围.

分析 根据函数与方程的性质分别求出命题P,Q为真命题时的等价条件,结合复合命题的真假关系进行求解即可.

解答 解:若函数y=cx在R上单调递减,则0<c<1,即P:0<c<1,
若方程x2-cx+$\frac{1}{8}$c=0有两个不相等的实数根,
则判别式△=c2-4×$\frac{1}{8}$c=c2-$\frac{1}{2}$c>0,
得c>$\frac{1}{2}$或c<0,
∵c>0,∴Q:c>$\frac{1}{2}$,
若命题“P∨Q”为真命题,命题“P∧Q”为假命题,
则P,Q一真一假,
若P真Q假,则$\left\{\begin{array}{l}{0<c<1}\\{0<c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,得0<c≤$\frac{1}{2}$,
若Q真P假,则$\left\{\begin{array}{l}{c>\frac{1}{2}}\\{c≥1}\end{array}\right.$,得c≥1,
综上0<c≤$\frac{1}{2}$或c≥1,
即实数c的取值范围是0<c≤$\frac{1}{2}$或c≥1.

点评 本题主要考查复合命题真假的应用,根据函数的性质求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键.

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