Question

【题目】已知圆心在坐标原点的圆O经过圆与圆的交点，A、B是圆O与y轴的交点，P为直线y=4上的动点，PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N.

(1)求圆O的方程；

(2)求证：直线MN过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）联立两圆的方程，求解方程组即可得两圆的交点坐标为(2,0)和(0,2)，

又所求圆的圆心为坐标原点，则可得圆的方程为，

（2）联立直线与圆的方程，可得交点坐标分别为，，

再由点斜式求直线方程为，即可得证.

(1)解：由解得：或，

即两圆的交点坐标为(2,0)和(0,2)，

又因为圆O的圆心为坐标原点，

所以圆O的方程为.

(2)证：不妨设A(0,2)、B(0,-2)、P(t,4)，

则直线PA的直线方程为，直线PB的直线方程为，

由得，同理可得，

直线MN的斜率为，

直线MN的的方程为：，

化简得：，

所以直线MN过定点(0,1).