Question

建造一个容积为8m³，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²
（1）求总造价关于底面一边长的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设底边一边长为xm，总造价为y元，由题意，知底面面积为4m²，则底面另一边长为

4

x

m，从而即可求得总造价关于底面一边长的函数解析式．
（2）利用函数的单调性求函数f（x）的最小值，分类讨论：当0＜x＜2时，利用单调性的定义证明它是单调递减的函数，再证明当x＞2时，是单调递增的函数，从而得出函数f（x）在（0，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）设底边一边长为xm，总造价为y元，则
由题意，知底面面积为4m²，则底面另一边长为

4

x

m，
∴y=120×4+80×(4x+4×

4

x

)=480+320(x+

4

x

)，x∈（0，+∞）
（2）当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)是单调递减的函数，证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜2，则f(x1)-f(x2)=320(x1+

4

x1

)-320(x2+

4

x2

)=320[(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)]
=320[(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

]=320×

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
故当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)是单调递减的函数
同理可证明当x＞2时，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)是单调递增的函数
∴当x=2时，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)在（0，+∞）上取到最小值，
最小值为f(2)=480+320(2+

4

2

)=1760元
答：（1）总造价y元关于底面一边长xm的函数解析式为y=480+320(x+

4

x

)，此时此函数的定义域为（0，+∞）（2）总造价的最小值为1760元．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、函数单调性的应用、导数的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．属于基础题．