Question

（第三、四层次学校的学生做次题）
已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（c＞0），其导函数y=h′（x）的图象如下，且f（x）=lnx-h（x）．
（1）求a，b的值；
（2）若函数f（x）在(

1

2

，m+

1

4

)上是单调递减函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=2x-lnx（x∈[1，4]）的图象总在函数y=f（x）的图象的上方，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）h′（x）=2ax+b，由图象可知过A（2，-1）、B（0，3）两点，从而得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数f（x）的定义域，利用导数可求得函数的单调减区间，由题意知，区间(

1

2

，m+

1

4

)为函数f（x）减区间的子集，由此得不等式，注意区间端点间的大小关系；
（3）由题意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，即当x∈[1，4]时，c＞x²-5x+2lnx恒成立，令g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，则问题可转化为c＞g（x）_max，利用导数易求g（x）_max；

解答：解：（1）h′（x）=2ax+b，其图象为直线，且过A（2，-1）、B（0，3）两点，

4a+b=-1 b=3

，解得

a=-1 b=3

；
（2）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）知，f（x）=lnx+x²-3x-c，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

，
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=1，
当0＜x＜

1

2

或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）的单调减区间为（

1

2

，1），
要使函数f（x）在区间(

1

2

，m+

1

4

)上是单调递减函数，
则

1 2 ＜m+ 1 4 m+ 1 4 ≤1

，解得

1

4

＜m≤

3

4

，
故实数m的取值范围是（

1

4

，

3

4

]；
（3）由题意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，即当x∈[1，4]时，c＞x²-5x+2lnx恒成立，
设g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，则c＞g（x）_max，
易知g′（x）=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

(2x-1)(x-2)

x

，
令g′（x）=0得，x=

1

2

或x=2，
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（2，4）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
而g（1）=1-5×1+2ln1=-4，g（4）=4²-5×4+2ln4=-4+4ln2，
显然，g（1）＜g（4），故函数g（x）在[1，4]上的最大值为g（4）=-4+4ln2，
故c＞-4+4ln2，
所以c的取值范围为（-4+4ln2，+∞）．

点评：本题考查二次函数的性质、利用导数研究函数的单调性、最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想．