Question

18．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8ax+3，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}$（a＞0且a≠1）满足对?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则a的取值范围是$[{\frac{1}{2}，\frac{5}{8}}]$．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）在其定义域内是减函数，结合函数的解析式得0＜a＜1，且2a≥1且2-8a+3≤0，由此解得a的取值范围．

解答 解：∵对任意的x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴函数f（x）在其定义域内是减函数．
再由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8ax+3，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}$（a＞0且a≠1）
可得0＜a＜1，且2a≥1且2-8a+3≤0，
解得$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{5}{8}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$]．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，分段函数的应用，属于中档题．