Question

设函数f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，（其中e=2.1828…是自然对数的底数）．
（1）求p与q的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上存在实数x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，将其移项通分就可以看出来了；
（2）首先求出函数的导数f′（x），因为f（x）在其定义域内为单调函数，说明导数恒大于或小于0，从而求出p的取值范围；
（3）先假设存在，因为设，若在[1，e]上存在实数x，使得f（x）＞g（x），在区间[1，e]上分别求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后讨论求解．
解答：解：（1）∵f（e）=pe--2，
∴（p-q）e=，∴p-q=0，
∴p=q；
（2）f′（x）=p+-≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
；
（3）∵在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）_min=2；
x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0时，由（2）知f（x）在[1，e]递减⇒f_max（x）=f（1）=0＜2，不合题意

∴
③p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，

．
点评：此题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．