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(07年福建卷文)(本小题满分12分)

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,DCC1中点.

(I)求证:AB1⊥平面A1BD;

(II)求二面角A-A1D-B的大小.

本小题主要考查直线与平面的位置关系,三面角的大小等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力

解析:解法一:(I)取BC中点O,连结AO.

∵△ABC为正三角形,∴AOBC.

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,

AO⊥平面BCC1B1,

连结B1O,在正方形BB1C1C中,OD分别为BCCC1的中点,

B1OBD,

AB1⊥BD.

在正方形ABB1A1中,AB1A1B

AB1⊥平面A1BD.

 (II)设AB1A1B交于点C,在平面A1BD中,作GFA1DF,连结AF,由(I)得AB1⊥平面A1BD

∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.

在△AA1D中,由等面积法可求得AF

又∵AG=,

∴sin∠AFG=,

所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.

解法二:

 

(I)取BC中点O,连结AO.

 

∵△ABC为正三角形,∴AOBC.

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1

AO⊥平面BCC1B1.

B1C1中点O1,以a为原点,的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),

,

AB1⊥平面A1BD.

(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).

n,

    ∵   ∴

z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.

由(I)知AB1A1BD.

为平面A1BD的法向量.

cos<n1>===-.

∴二面角A-A1D-B的大小为arccos.

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