Question

已知向量a=（cosωx，sinωx），b=(cosωx，

3

cosωx)，其中0＜ω＜2．记f（x）=a•b．
（1）若f（x）的最小正周期为2π，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）图象的一条对称轴的方程为x=

π

6

，求ω的值．

Answer 1

分析：（1）先由向量数量积的坐标表示得出f（x），利用三角恒等变换公式对其进行化简，然后根据f（x）的最小正周期为2π求出ω，得出函数解析式，再由正弦函数的性质求函数f（x）的单调递增区间；
（2）函数f（x）图象的一条对称轴的方程为x=

π

6

，邮三角函数图象的性质知，当自变量为x=

π

6

时，函数取到最大值或最小值，由此关系建立方程求出ω的值．

解答：解：（1）f(x)=cos2(ωx)+

3

sin(ωx)cos(ωx)=

1+cos(2ωx)

2

+

3

2

sin(2ωx)=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

．
∵T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

，
∴f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

．
由-

π

2

≤x+

π

6

≤

π

2

得-

2π

3

≤x≤

π

3

．
故函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

](k∈Z)．（8分）
（2）∵直线x=

π

6

是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
得ω=3k+1．
又∵0＜ω＜2，
∴令k=0，得ω=1．（12分）

点评：本题考查三角函数恒等变换的运用，三角函数的对称性，三角函数的单调性的求法，解题的关键是熟记三角恒等变换公式，熟练掌握三角函数的性质，本题知识性较强，在近年的高考题中多有出现．题后要注意总结此类题的做题规律．