Question

已知

m

=（sinx，sinx），

n

=（sinx，-

3

cosx，）函数f（x）=

1

2

-

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若sin（2A-

π

6

）-f（A）=

1

2

，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域求出f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域即可；
（2）由（1）确定出的解析式代入已知等式求出cos2A的值，确定出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用完全平方公式变形，将b+c，bc的值代入计算即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinx，sinx），

n

=（sinx，-

3

cosx），
∴函数f（x）=

1

2

-

m

•

n

=

1

2

-（sin²x-

3

sinxcosx）=

1

2

-（

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x+

π

6

），
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
则函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域为[-

1

2

，1]；
（2）由（1）得到f（x）=sin（2x+

π

6

），
代入已知等式得：sin（2A-

π

6

）-sin（2A+

π

6

）=

1

2

，即-2cos2Asin

π

6

=-cos2A=

1

2

，
整理得：cos2A=-

1

2

，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
∵△ABC面积S=

1

2

bcsinA=2

3

，
∴bc=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=49-24=25，
则a=5．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．