Question

（（本小题12分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.

Answer 1

（1）证明：在梯形中， ∵ ,，
∠＝，∴     ∴
∴ ∴　⊥    
∵平面⊥平面,
平面∩平面,平面
∴ ⊥平面   
（2）取中点为，连结
∵ ,∴  ∴⊥ ∵　   ∴ ⊥ ∴ ∠=

∵ ⊥  ∴  ∴,
∴  

（3）由（2）知，①当与重合时，
②当与重合时，过,连结，则平面∩平面＝,∵ ⊥，又∵⊥∴ ⊥平面∴ ⊥平面

∴　∠＝ ∴　=,∴　=
③当与都不重合时，令
延长交的延长线于,连结
∴　在平面与平面的交线上
∵ 在平面与平面的交线上
∴ 平面∩平面＝
过C作CH⊥NB交NB于H ，连结AH，
由（I）知，⊥, 又∵AC⊥CN,∴　AC⊥平面NCB
∴ AC⊥NB,　又∵　CH⊥NB，AC∩CH=C，∴　NB⊥平面ACH ∴AH⊥NB    ∴ ∠AHC=
在中，可求得NC＝，从而，在中，可求得CH＝
∵　∠ACH＝   ∴　　AH＝
∴   ∵  ∴ ， 综上得。

略