Question

5．若数列{a_n}（n∈N^*）满足：①a_n≥0；②a_n-2a_n+1+a_n+2≥0；③a₁+a₂+…+a_n≤1，则称数列{a_n}为“和谐”数列．
（1）已知数列{a_n}，${a_n}=\frac{1}{n（n+1）}$（n∈N^*），判断{a_n}是否为“和谐”数列，说明理由；
（2）若数列{a_n}为“和谐”数列，证明：${a_n}-{a_{n+1}}＜\frac{2}{n^2}$．（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）通过对比“和谐”数列的三个条件，因此验证是否满足即可；
（2）通过构造数列{c_n}（c_n=a_n-a_n+1），通过②可知c_n≥c_n+1，通过放缩可知a₁+a₂+…+a_n≥$\frac{n（n+1）}{2}{c_n}$，利用③化简即得结论．

解答 （1）结论：数列{a_n}为“和谐”数列．
理由如下：
对于数列{a_n}数列{a_n}，显然符合①．
∵${a_n}-2{a_{n+1}}+{a_{n+2}}=\frac{1}{n（n+1）}-\frac{2}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}=\frac{6}{n（n+1）（n+2）（n+3）}＞0$，
∴符合②
∵${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}=1-\frac{1}{n+1}＜1$，
∴符合③
综上所述，数列{a_n}为“和谐”数列．
（2）证明：构造数列{c_n}，令c_n=a_n-a_n+1，
由②可知a_n-a_n+1≥a_n+1-a_n+2，∴c_n≥c_n+1，
a₁+a₂+…+a_n=a₁+（-a₂+2a₂）+（-2a₃+3a₃）+…+[-（n-1）a_n+na_n]
≥a₁+（-a₂+2a₂）+（-2a₃+3a₃）+…+[-（n-1）a_n+na_n]-na_n+1
=（a₁-a₂）+2（a₂-a₃）+…+n（a_n-a_n+1）
=c₁+2c₂+…+nc_n
≥（1+2+…+n）c_n
=$\frac{n（n+1）}{2}{c_n}$，
由③知$\frac{n（n+1）}{2}{c_n}≤{a_1}+{a_2}+…+{a_n}≤1$，
∴${c_n}≤\frac{2}{n（n+1）}＜\frac{2}{n^2}$，
即：${a_n}-{a_{n+1}}＜\frac{2}{n^2}$，
∴$0≤{a_n}-{a_{n+1}}＜\frac{2}{n^2}$．

点评 本题考查在新概念“和谐”数列下数列的作差与求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．