Question

设函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，且对任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＞0时，f（x）是增函数，则函数y=-f²（x）在区间[-3，-2]上的最大值是

-16

．

Answer 1

分析：先令x₁=0，求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，得到函数是奇函数．再根据奇函数在对称的区间上单调性相同，结合题意，得到x＜0时，f（x）是增函数．问题转化为求f（-2）的值，我们不难利用f（1）=2，求出f（2），最终得出f（-2）的值．

解答：解：先证f（x）为奇函数
∵定义在R上的函数y=f（x），对任意x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）．解得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
∵当x＞0时，奇函数f（x）是增函数，
∴当x＜0时，f（x）也是增函数，
∴在区间[-3，-2]上，f（-3）≤f（x）≤f（-2）
根据函数定义可求得f（-3）=-f（3）=-6，f（-2）=-f（2）=-4，
∴在区间[-3，-2]上，-6≤f（x）≤-4
∴y=-f²（x）在区间[-3，-2]上的最大值是-16
故答案为：-16

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性的判定，以及赋值法的应用，属于中档题．充分利用函数的单调性与奇偶性，是解决本题的关键．