Question

过抛物线y²=4x的焦点作一条倾斜角为 α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2+y2=

3

4

有公共点，则 α的取值范围是

[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]

．

Answer 1

分析：设出弦所在的直线方程，代入抛物线y²=4x化简，利用一元二次方程根与系数的关系求得 x₁+x₂=2+

4

k2

．根据弦的长度不超过8，结合抛物线的定义可得|AB|=2+x₁+x₂≤8，由此求得k的范围．再由圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径，求得k的范围．最后把这2个k的范围取交集，可得k的准确范围．由于k的范围就是tanα的范围，再由0≤α＜π求得α的范围．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），当α=90°时，|AB|=2p=4＜8，故不满足条件，
故α≠90°．
设弦所在的直线方程为 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入抛物线y²=4x可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

．
由于弦长度不超过8，且由抛物线的定义可得|AB|=2+x₁+x₂，∴2+

4

k2

≤6，k²≥1，
故有 k≤-1，或 k≥1 ①．
再由弦所在的直线与圆x2+y2=

3

4

有公共点，可得圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径，
即

|0-0-k|

k2+1

≤

3

2

．
解得-

3

≤k≤

3

，且 k≠0 ②．
由①②可得 1≤k≤

3

，或-

3

≤k≤-1，即 1≤tanα≤

3

 或-

3

≤tanα≤-1．
再由 0≤α＜π可得，α的范围是[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]，
故答案为[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，抛物线的定义和标准方程的应用，三角不等式的解法，属于中档题．